关于小学“数学本质”的对话(2)

　　分数究竟该如何定义

　　唐：很多教材都是这样定义分数的：单位1平均分为若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。这样的描述听起来比较自然，也符合“几分之几”的称呼，因而是引入分数的首选。

　　张：对，用份数的定义来引入分数是非常自然的。但这样说还没有体现引进分数的本质：分数是一个不同于自然数的新数。份数定义还停留在“几份”的思考上，还没有越出自然数的范围。1份，3份，是分数还是自然数?因此必须尽快过渡到分数的“商”定义：即分数是正整数a除以正整数b的商，记为a／b。用a除以b，当除得尽时(整除)，答案仍是“老朋友”——自然数。关键在于除不尽的情况，这时得到的商就是我们要结识的新朋友——分数。这个概念我们现在注意得不够，而这恰恰是我们学习分数的本质所在。

　　唐：您能举例说明一下吗?

　　张：比如1／4，它是一个整体平均分为4份中的一份。但是，这一份究竟有多大呢?1除以4的商是多大呢?它一定比1小，却又比0大。我们可以在数射线上标出它的位置：它在0和1之间，中间这一点是一半，就是1／2；在1／2和0之间再分一半，那个位置就应是1／4。这样一画，分数是“我们的新朋友”的特性就显示出来了。原来的自然数离散地分布在数射线上，现在的分数密密麻麻地填在射线上。商的分数的定义比份数的定义要深入一步，体现了引进分数的必要性。目前的教材只是说“分数和除法之间的关系”，未免不得要领。

　　唐：确实，以前我们描述分数与除法的关系时只是一般地描述为：分数中的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除法中的除数。但到底是怎样的一种关系，尚不明晰。分数的商的定义，强调分数是一个新的数，这太重要了。张老师，您以前还提到了分数的另外一种定义，那是一种怎样的定义?

　　张：分数的第三个定义是比的定义：两个自然数a和b，b≠0，把比值a／b叫做分数。比和除，本来是一个问题的两个方面，我的意思是说，用比的概念之后，分数就可以扩大它的应用范围，使我们的视野更广阔。我记得我曾经请你做过一个调查。