关于小学“数学本质”的对话(5)

　　解决问题与应用题是什么关系

　　唐：在数学新课程中，以前特别熟悉的应用题不见了，取而代之的是解决问题。请张老师从数学的角度谈谈这两者之间的关系。

　　张：数学问题可以有多种分类方法。例如，可以分为常规的练习题和非常规的探究性问题。通常所说的“解决问题”，则比较关注非常规问题。另外，还可以分为纯数学问题和应用数学问题。像歌德巴赫猜想这样的纯数学问题，来源于数学内部；至于“神舟7号” 飞行轨道的计算问题，则属于应用问题，来源于现实生活中各行各业所涉及的数量关系。小学数学里的应用问题是客观存在的，似乎不必回避。应用题可以改进，却不能取消。我们反对的是过去小学数学中那些矫揉造作、远离现实、缺乏教育价值的应用题。新的应用题，强调数学模型的建立，问题的条件可以冗余，数据需要取舍，模型需要建立，结果需要验证，值得提倡。

　　唐：张老师，你常常提起20世纪最伟大的数学教育家弗赖登塔尔举过的一个例子：“昨夜外星人访问我校，留下了一个巨大的手印(图)，今夜他还要来，试问：我们给他坐的椅子应该有多高?他用的新铅笔应该要多长?”这个问题是应用题吗?

　　张：我认为这是好的应用题。首先，这是一个学生喜欢的 题材，虽然不是实际发生的问题，却是可以领会理解的情境。正如鸡兔同笼问题一样，是一种好的数学模型。其次，它蕴含了丰富的数学思想，非常深刻地体现了比例的思想。学生通过测量巨人的手和自己的手的大小比值，然后按比例放大，将比值用于设计椅子高度和铅笔长度。这 是比、比例、相似等数学本质的体现。再如，日本有一堂公开课，内容是要求学生在一块矩形场地上设计花坛，使得花坛的面积为场地的一半。这是数学和艺术相结合的应用题。类似这样的问题就和过去的应用题有很大的区别，是我们需要关注的。

　　小学几何内容为什么要增加

　　唐：新课程在空间与图形领域增加了一些新的内容，从您的角度看，为什么要增加?

　　张：几何学的内容很丰富。首先是直观几何，就是对平面图形、立体图形的认识；其次是一些求面积、体积的问题，属于度量几何。在实施新课程以前，小学数学主要包括这两部分内容。后来我们发现，大学数学的许多问题，它的原始思想是非常简单、非常朴实又非常重要的。于是就增加了以下三个方面的内容。第一是演绎几何，比如说垂直、平行、线段、射线这些名词都属于演绎几何的范畴。第二是运动几何，如平移、旋转和对称，是小学生需要和可以接受的内容。第三是坐标几何。总体来看，现在小学数学里的几何学，包括直观几何、度量几何、演绎几何、运动几何、坐标几何这五大块。 从过去的两块扩大到五块，扩大了我们几何学的视野，丰富了我们对几何学的感受，是十分有意义的改革。