最大公约数和最小公倍数难题讲解(3)

　　如果d＝2，由d³（a1＋b1）＝54，有a1+b1=27；又由d³（a1b1-1）=114，有a1b1=58。 58＝1³58＝2³29，但是1＋58＝59≠27，2+29＝31≠27，所以d≠2。

　　如果d=3，由d³（a₁＋b₁）=54，有a₁+b₁＝18；又由d³（a₁b₁-1）=114，有a1b1=39。

　　39＝1³39＝3³13，但是1＋39＝40≠18，3＋13＝16≠18，所以d≠3。

　　如果d=6，由d³（a1＋b1）=54，有a1＋b1=9；又由d³（a1b1-1）=114，有a1b1=20。

　　20表示成两个互质数的乘积有两种形式：20=1³20＝4³5，虽然1＋20=21≠9，但是有4＋5＝9，所以取d＝6是合适的，并有a1=4，b1＝5。 a＝6³4＝24，b＝6³5＝30。

　　答：这两个数为24和30。

　　例6 已知两个自然数的差为4，它们的最大公约数与最小公倍数的积为252，求这两个自然数。

　　解：设这两个自然数分别为a与b，且a＞b，a＝da1，b=db1，（a1，b1）＝1。

　　因为a-b=4，所以da1-db1=4，于是有d³（a1-b1）=4，因此d为4的约数。 因为这两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积为252，所以d³da1b1＝252，于是有d2³a1b1=（2³3）2³7，因此d为2³3的约数。 故d为4与2³3的公约数。 由于（4，2³3）＝2，2的约数有1和2两个，所以d可能取1、2这两个值。

　　如果d=1，由d³（a₁-b₁）=4，有a₁-b₁=4；又由d2³a1b1=252，有a1b1=252。

　　252表示成两个互质数的乘积有4种形式：252=1³252=4³63=7³36＝9³28，但是252-1＝251≠4，63-4＝59≠4，36-7=29≠4，28-9＝19≠4，所以d≠1。

　　如果d=2，由d³（a1-b1）=4，有a1-b1=2；又由d2³a1b1＝252，有a1b1=63。

　　63表示为两个互质数的乘积有两种形式：63＝1³63=7³9，但63-1＝62≠2，而9-7＝2，且（9，7）=1，所以d=2，并且a1＝9，b1＝7。

　　因此a=2³9＝18，b＝2³7＝14。

　　答：这两个数为18和14。

　　在例2～例5的解答中之所以可以在假设中排除a=b这种情形（在各例中都只假设了a＜b），分别是由于：例2和例5，若a＝b，则（a，b）＝[a，b]＝a，与条件（a，b）≠[a，b]矛盾；例3，若a=b，则a＝b=（a，b）=5，因此a＋b＝10≠50，与条件矛盾；例4，a³b=240不是平方数。 从例题的解答中可以看出，在处理涉及两数的最大公约数或者最小公倍数的很多问题中，经常用到的基本关系是：若两数为a、b，那么a=a1d，b＝b1d，其中d=（a，b），（a1，b1）＝1，因此[a，b]＝da1b1，有时为了确定起见，可设a≢b.对于很多情形，可以排除a=b的情形（如上述所示），而只假设a＜b.