最大公约数和最小公倍数难题讲解
本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题鈥斺�斢泄亓礁鲎匀皇�.它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。
定理1 两个自然数分别除以它们的最大公约数所得的商互质.即如果(a,b)=d那么(a梅d,b梅d=1)。
证明：设a梅d=a1 b梅d=b1那么a=a1d聽 b=b1d。 假设(a1,b1)鈮�1可设(a1,b1)=m聽 m＞1于是有a1=a2m b1=b2m.(a2 b2）是整数 所以a=a1d=a2md，b=b1d=b2md。
那么md是a、b的公约数。
又∵m＞1∵md＞d。 这就与d是a、b的最大公约数相矛盾.
因此（a1b1）鈮�1的假设是不正确的.所以只能是（a1，b1）=1也就是（a梅d，b梅d）=1。
定理2 两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积.证明略 定理3 两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数.证明略 下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。
例1 甲数是36甲、乙两数的最大公约数是4最小公倍数是288求乙数.
解法1由甲数脳乙数甲、乙两数的最大公约数脳两数的最小公倍数可得 363脳乙数43脳288 乙数43脳288梅36 解出 乙数32。
答乙数是32。
解法2因为甲、乙两数的最大公约数为43则甲数43脳9设乙数4脳b1且b191。
因为甲、乙两数的最小公倍数是288， 则 288＝4鲁9鲁b1， b1＝288梅36， 解出 b1＝8。
所以，乙数=4鲁聽聽聽聽聽聽聽聽聽 8=32。
答：乙数是32。
例2 已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？
解：要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b，a＜b。 因为这两个数的最大公约数是21，故设a=21a1，b＝21b1，且（a1，b1）＝1。
因为这两个数的最小公倍数是126，
聽 所以 126=21鲁a1鲁b1， 于是 a1鲁b1=6， 
因此，这两个数的和为21＋126=147，或42＋63=105。
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