数学名人故事：费马的数学情缘(3)

　　费马用这种“无穷下降”的方法，可以证明x4+y4=z4没有整数解，然后由这里他很容易证明x4＋y4=z4是没有整数解。

　　由于费马对他的大定理在n=4时能证明，很可能他犯了错误，以为他这个方法是无往而不利，也能够解决所有的情形。

　　引无数英雄竞折腰

　　差不多三百年来有名的数学家都想要解决这个问题。法国的科学院，比利时的皇家科学院等数学团体都曾悬赏给这个问题解决者，可惜没有人能拿到。

　　当然最令人刺激的是1908年德国保罗的奖金，当这消息在美国报章宣布时，引起了许多看在钱的份上而去研究这问题的人的狂热。有一个时期有许多关于一些没有受过数学训练的人对这个问题解决的消息的宣布，可是事后证明他们的“证明”不是一窍不通就是胡说八道。

　　费马本身是对n=4时证明了，因此对于任何4的倍数n=4m，费马的方程可以写成形如（xm）4＋（ym）4=（zm）4，从而推得这方程无整数解。

　　现在对于一般的整数n，如果能表示为n=pm这里p是大于2的素数。则费马方程可以写成：

　　（xm）p+（ym）p=（zm）p

　　如果我们能证明xp＋yp=zp没有整数解，那么以上的方程也没有整数解。因此要证明费马定理是否是对，只要在对这方程有素数次方的情形来考虑就行了。

　　n=3的情形，欧拉在1770年给出证明。在1823年法国数学家勒让得（Legendre）对n=5的情形给出证明，1839年拉梅（Lame）对n=7给出了证明。

　　160多年前，一个靠自己学习的巴黎小姐苏菲·日耳曼（So－phie Germain）在费马大定理上也有重要的贡献。她证明了如果p是奇素数，而且q=2p+1也是素数，那么xp＋yp＝zp没有整数解。这样对于小于100的所有奇素数这个问题就算解决了。

　　在这么多研究费马问题，最有成就的该是德国数学家库沫尔（E．E．Kummer 1810—1893），他花了20年的时间想要解决费马问题，最后他以为成功，结果后来给人指出他的理论还有些缺陷不能穷究所有的情况。虽然是这样他的工作对数学的进展有很大的推动，他引进了理想数的概念，建立了代数数论的重要基础理论。他把素数分成正则和不正则两类，费马方程对所有的正则素数是成立，因此主要工作是对不正则的素数来验证，他知道小于164的不正则素数是：37，59，67，101，103，131，149，157因此证明了费马定理对于n小于100时都是成立的。