小学四年级奥数专题(二十九)抽屉原理(1)(2)
第二种情形。至多有两个数在同一个抽屉里,那么每个抽屉里都有数,在每个抽屉里各取一个数,这三个数被3除的余数分别为0,1,2。因此这三个数之和能被3整除。
综上所述,在任意的五个自然数中,其中必有三个数的和是3的倍数。
例4在长度是10厘米的线段上任意取11个点,是否至少有两个点,它们之间的距离不大于1厘米?
分析与解:把长度10厘米的线段10等分,那么每段线段的长度是1厘米(见下图)。
将每段线段看成是一个“抽屉”,一共有10个抽屉。现在将这11个点放到这10个抽屉中去。根据抽屉原理,至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点(包括这些线段的端点)。由于这两个点在同一个抽屉里,它们之间的距离当然不会大于1厘米。
所以,在长度是10厘米的线段上任意取11个点,至少存在两个点,它们之间的距离不大于1厘米。
例5有苹果和桔子若干个,任意分成5堆,能否找到这样两堆,使苹果的总数与桔子的总数都是偶数?
分析与解:由于题目只要求判断两堆水果的个数关系,因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计。
对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能,所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4种情形:
(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶),
其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性,第二个字表示桔子数的奇偶性。
将这4种情形看成4个抽屉,现有5堆水果,根据抽屉原理可知,这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形。由于奇数加奇数为偶数,偶数加偶数仍为偶数,所以在同一个抽屉中的两堆水果,其苹果的总数与桔子的总数都是偶数。
例6用红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色(见右图),每个小方格涂一种颜色。是否存在两列,它们的小方格中涂的颜色完全相同?
分析与解:用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色,只有下面四种情形:
将上面的四种情形看成四个“抽屉”。根据抽屉原理,将五列放入四个抽屉,至少有一个抽屉中有不少于两列,这两列的小方格中涂的颜色完全相同。