从函角度看某些方程、不等式的解
中学数学里的方程、不等式与函数间的联系是双向的：
一方面函数的整体性认识要得到议程、不等式以指导。但就目前教材的安排以及其中的例题与习题的配备来看，这后一方面的联系，显得不足。下面就本人对高一教材所做过的补充和延伸，举例谈谈关于某些方程、不等式的解，可以从六个方面考虑。
一 从函数定义域考虑 例1 解方程(x2+2x-3)1/2+(x+3)1/2-(1-x)1/2=x+1 解 设f(x)=)(x2+2x-3)1/2+(x+3)1/2-(1-x)1/2,则f(x)的定义域取决于 下面不等式组的解：
二 从函数值域考虑 例2 解方程 (x2-2x+5)1/2+（x6-2x+10）1/2= 4-2x2+x4. 解 设f(x)= (x2-2x+5)1/2+（x6-2x+10）1/2 g(x)= 4-2x2+x4 因为f(x)= [(x-1)2+4)]1/2+[(x3-1)2+9)]1/2鈮�5； g(x)= 5-（x2-1）2+x4鈮�5。 仅当x-1=x3-1=x2-1=0时, f (x)= + g(x)，从而推出原方程的解为x=1。 例3 解方 x+1/x=sinx+31/33cosx. 解 令=x+1/x, g(x)=sinx+31/3cosx 易证:| f(x)|= | x+1/x|=|x|+1/|x|鈮�2; |g(x)|=| 2sina(x+蟺/3|鈮�2 但是当|f(卤1)|=2时,但是当| g (卤1)|鈮�2时.所以原方程没有解.
三 结合函数定义域、值域考虑 例4 解方程 （3x2-10x+8)1/2+（2x2-x-6）1/2=2x-4 解 令f(x)= （3x2-10x+8)1/2+（2x2-x-6）1/2, g(x)= 2x-4. ∵f(x)鈮�0,鈭磄(x)= 2x-4鈮�0.于是x鈮�2. 又3x2-10x+8=(x-2)(3x-4)鈮�0; 2x2-x-6=(x-2)(2x+3)鈮�0 所以, f(x)、g(x)的定义域是x鈮�2。在此条件下原方程又可化 为： (x-2)1/2[(3x-4)1/2+(2x+3)1/2=2[(x-2)2]1/2.它的解为下列方二程 之解： x-2=0；
（1） (3x-4)1/2+(2x+3)1/2=2(x-2)1/2 (2) 解（1）得x=2；而（2）没有解，事实上，将（2）式移项得 (3x-4)1/2-(x-2)1/2=(x-2)1/2-(2x+3)1/2,再采用分子有理化的方法，得到 (2x-2)/[(3x-4)1/2+(x-2)1/2]=-(x+5)/(x-2)1/2+(2x+3)1/2 当x鈮�2时，上式左边函数值为正，右边的函数值为负。得出矛盾。 经检验原方程仅有一解x=2。
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