从函角度看某些方程、不等式的解(2)

　　四 结合函数性质考虑 例5 解方程（2x+7）1/2-(2-x)1/2=(5-x)1/2 解 设f(x)= (2x+7)1/2；g(x)=(5-x)1/2-(2-x)1/2.在它们共 同的定义域里，f(x)严格递增，g(x)严格递减且原方程与方程f(x)=- g(x)同解.显然 f(1)=g(1),并且x>/时,时,f(x)>f(1)=g(1)>g(x); x<1时,f(x) 这就是说f(x)=g(x)仅有一解`x=1. 例6 解不等式1-(1-4x2)1/2/x<3. 解 设不等式左边为f(x),不难确定其定义域是[-1/2,0)∪ (0,1/2].当02)1/2],容易看出,它的分子不超过2,分母总是不小于1的.因此,0 推得原不等式的解集就是[-1/2,0)∪(0,1/2] 五 结合函数的几何意义考虑 例7 解方程 [x+3-4(x-1)1/2]1/2+[x+8-6(x-1)1/2]1/2=1 解原方x-1)程可变形为 {[( 1/2-2]2}1/2+{[(x-1)1/2-3]2}1/2=1 令 (x-1)1/2=u,则有 │u-2│+错误！链接无效。=1。

　　这个不等式的几何意义是；在u轴上，点u到点2与点头的距离 之和等于1。

　　不难得到2≤u≤3,即2≤(x-1)1/2≤3从而解得5≤x≤10 例8 求证:妆a (x-b)(x-d)=0必有实根. 证 令f(x)=(x-a)(x-c)+λ(x-b)(x-d),从几何意义考虑,本题 要讨论对任何实数λ,函数f(x)的图象与x轻于某一点; (2)当λ>-1时, f(x)=(1+λ)x2-[(a+c)+λ(b+d)]x-(ac+λbd),因为这时(1+λ) >0,所以f(x)代表了一个开口向上的抛物线.倘能说明函数f(x)的图象在x轴下方有点,再据二次函数图象的性质:连续向上无限伸展,可知它的图象必与x轴有二交点.事实上,由f(b)= (b-a)(b-c+)λ(b-b)(b-d)<(b-c)<0可知点(b,f(b))在x轴下方: (3) λ<-1时,抛物线f(x)这时开口向下,又f(c)=λ(c-b)(c-d)>0,可知点(c,f(c))在x轴上方,因此,抛物线f(x)必与x轴有二个交点.

　　综上所述,得知原题结论成立. 六 结合函数与反函数考虑 例9 解方程组 y=10x (1) y-1ga=-(x-a) (2) 解 将(1)看作是指数函数的图象;而(2)的几何解释是一条斜率 等于-1的直线.不难证明这条直线垂直于直线y=x,并经过y=1gx图象上一点(a,1ga)。解此方程组就是求曲线(1)与直线(2)的交点。 因为y=10x与y=1ogx互为相反函数，它们的图象关于直线y=x对称。而直线（2）又与对称轴相垂，根据平面几何对称的知识，曲线（1）与直线（2）的交点，必是点（a,1ga）关于直线y=x为对称的点，所以这点坐标为（1ga，a）。于是原方程的解是x=1ga.y=a 实践表明，补充一些从函数整体性认识出发，兼顾到方程和不等式各部分间关系的练习，对于巩固并加深函数性质的认训，对于提高解方程、解不等式的能力都有较好的效果。