探讨组数的规律

2009-10-21  | 个位 两位 规律 

  用几个不同的数字可以组成多少个不同的若干位数(在同一个数中不能重复使用同一个数字).这是我们本节需要研究的问题.

  让我们先来考察一个例子.

  用1~9九个不同的数字,可以组成多少个各位数字不同的两位数?

  因为1~9九个数字选作两位数的个位和十位都有可能,因此,我们按照一定的顺序来考察实际组数的情况.

  假如,我们先在十位上选取1~9中的某个数字,比如1吧,那么,以1作十位数的两位数,它的个位数字就只有其余9-1=8(个)数字(2、3、4、5、6、7、8、9)可供选择,这样的两位数就有8个.而十位上的数字是有九个数字可供选择的,因此,总共就可以得到

  9脳8=72(个)

  各位数字不同的两位数.这72个两位数就是:

  值得我们思考的是,如果我们只用1~9这些数字中的某八个数字、七个数字、六个数字、鈥︹Γ敲矗直鹂梢宰槌啥嗌俑龈魑皇植煌牧轿皇

  按上面的做法,用八个不同数字组成两位数,先选十位上的数字有八种可能的方法,接着选个位上的数字还有七种可能的方法(也可以先选个位上的数字,再选十位上的数字),因此,共可以组成

  8脳7=56(个)

  不同的两位数.

  同理,用七个不同的数字就可以组成

  7脳6=42(个)

  各位数字不同的两位数.

  下面的情形不必由我写出,读者可能也推想到了.那么,我希望用下面的符号记录出上面的各种情形:用m个不同的数字,可以组成多少个各位数字不同的两位数?请读者写出答案.

  再来考察一个例子.

  用1~9九个数字,可以组成多少个各位数字不同的三位数?

  九个数字选作三位数的各位数字都有可能.假如,百位上选数字1,十位选数字2,个位上就还有除1、2以外的其余9-2=7(个)数字可以选择,就可得7个三位数.图示如下页。

  而百位上选择数字1,十位上可以选择1以外的其它9-1=8(个)数字,这样就可得

  8脳7=56(个)

  各位数字不同的三位数;最后,由于百位上的数字可以在九个

  数字中任意选择,因此,总共就可得

  9脳8脳7=504(个)

  各位数字不同的三位数.

  毫无疑问,这些数可以按照我们的思路毫无遗漏地一一列出,但要费上好些时间和纸张.

  值得大家再思索的是,如果用1~9这九个数字组成四位数、五位数、六位数、鈥︹Γ堑母鍪迷跹竽兀

  我们可以采用同样的方法.

  用九个数字组成四位数,先选九个数中的某个数作千位上的数字,有九种方法;再选余下的八个数字中的某个数作百位上的数字,有八种方法,接着,选余下的七个数字中的某个数字作十位上的数字,共有七个方法;最后,选剩下的六个数字中的某个数字作个位上的数字,共有六种方法.因此,可以组成

  9脳8脳7脳6=3024(个)

  不同的四位数.

  不必让我再啰嗦,下面组成五位数、六位数、鈥︹Φ那樾危琳咭欢芄灰灰涣谐.

  如果我们采用符号来记录前面的各种情形:用1~9九个数字,可以组成多少个各位数字不同的n位数?请读者自己写出答案.

  综合前面的两个例子,我们的读者是不是能够概括出一般的规律:

  用m个不同的数字可以组成多少个各位数字不同的n位数?

  【规律】

  用m个数字可以组成各位数字不同的两位数的个数是:

  m脳(m-1)

  用九个数字可以组成各位数字不同的n位数的个数是:

  9脳8脳鈥︹9(n-1)]

  用m个数字组成各位数字不同的n位数的个数是:

  m脳(m-1)脳鈥︹γ梉m-(n-1)]

  【练习】

  1.用1、2、3三个数可以组成多少个数字各不相同的三位数?

  2.用2、4、6、8可以组成多少个数字各不相同的四位数?写出最大的四位数和最小的四位数.

  3.用0、5、6三个数字,可以组成多少个各位数字不同的三位数?

  4.选用1、2、8、9中的三个数字,可以组成多少个各位数字不同的三位数?

  5.选用0~9十个数字中的三个数字,可以组成多少个各位数字不同的三位数?写出最大的三位数和最小的三位数?

  6.如果每个数字允许重复使用,那么,用3、5、8这三个数字可以组成多少个不同的三位数?

  7.数字各不相同的两位数共有多少个?

  8.至少有两个数字相同的三位数共有多少个?

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《探讨组数的规律》摘要:十位上选取1~9中的某个数字,比如1吧,那么,以1作十位数的两位数,它的个位数字就只有其余9-1=8个数字2、3、4、5、6、7、8、9可供选择,这样的两位数就有8个.而十位上的数字是有九个数字可供选择的,因此,总共就...
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