五年级奥数专题十三:最大公约数与最小公倍数(2)
这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系,并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。
在求18与12的最大公约数与最小公倍数时,由短除法
可知,(18,12)=2脳3=6,[18,12]=2脳3脳3脳2=36。如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘,那么
(18,12)脳[18,12]
=(2脳3)脳(2脳3脳3脳2)
=(2脳3脳3)脳(2脳3脳2)
=18脳12。
也就是说,18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积,等于18与12的乘积。当把18,12换成其它自然数时,依然有类似的结论。从而得出一个重要结论:
两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积,等于这两个自然数的乘积。即,
(a,b)脳[a,b]=a脳b。
例1 两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18,求另一个自然数。
解:由上面的结论,另一个自然数是(6脳72)梅18=24。
例2 两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210。这两个自然数的和是77,求这两个自然数。
分析与解:如果将两个自然数都除以7,则原题变为:鈥溋礁鲎匀皇淖畲蠊际1,最小公倍数是30。这两个自然数的和是11,求这两个自然数。鈥
改变以后的两个数的乘积是1脳30=30,和是11。
30=1脳30=2脳15=3脳10=5脳6,
由上式知,两个因数的和是11的只有5脳6,且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6,故原来的两个自然数是
7脳5=35和7脳6=42。
例3 已知a与b,a与c的最大公约数分别是12和15,a,b,c的最小公倍数是120,求a,b,c。
分析与解:因为12,15都是a的约数,所以a应当是12与15的公倍数,即是[12,15]=60的倍数。再由[a,b,c]=120知, a只能是60或120。[a,c]=15,说明c没有质因数2,又因为[a,b,c]=120=23脳3脳5,所以c=15。
因为a是c的倍数,所以求a,b的问题可以简化为:鈥渁是60或120,(a,b)=12,[a,b]=120,求a,b。鈥
当a=60时,
b=(a,b)脳[a,b]梅a
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