数学故事：刘徽创立的割圆术

　　圆周率是对圆形和球体进行数学分析时不可缺少的一个常数，各国古代科学家均将圆周率作为一个重要课题。我国最早采用的圆周率数值为三，即所谓鈥溇兑恢苋�鈥潯！毒耪滤闶酢分芯筒捎昧苏飧鍪�据，鈥湻教镡�澲杏姓庋�一个问题鈥溄裼性蔡铮�周三十步，径十步，问田有几何？鈥澓芟匀唬�这个数值不能满足精确计算的要求。汉代一些数学家已发现了这一问题，并在实际应用时采用多种圆周率数值。经过他们的努力，数值精确度虽有提高，但大多是经验成果，缺少理论基础。

　　圆周率计算上的有所突破，有赖于有效方法的诞生，这种方法就是割圆术。刘徽经过深入研究，他发现圆内接正多边形边数无限增加时，多边形周长可无限逼近圆周长，从而创立了鈥湼钤彩踱�潯�

　　割圆术的主要内容是：一、在圆内作内接正六边形，每边边长均等于半径；再作正十二边形，从勾股定理出发，求得正十二边形的边长，如此类推，从内接n边形的边长可推知内接2 n边形的边长。二、从圆内接正n边形每边边长，可求得内接2 n边形的面积。如图正十二边形的一部分（四边形O A D B）的面积，等于正六边形边长A B乘以半径O D的一半，这样，即使边数极多的内接正多边形面积也可以一步步求解。三、圆的面积介于两个可求得的值之间。

　　依据极限观念，刘徽指出：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，鈥湼钪�弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣鈥潯＝�这种极限思想和上述不等式结合起来，通过不断增加多边形边数，就可以从不足近似值和过剩近似值两个方面逼近圆周率的真值。这两个数据的精确度是当时世界上前所未有的。

　　与刘徽类似的是，古希腊的阿基米德也用正多边形法去求圆周率。但是阿基米德是用归谬法证得这一结果的，避开了极限概念，而刘徽却大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法；且阿基米德的方法需另外计算圆外切正多边形面积，刘徽的方法则只需求内接正多边形面积。与阿基米德比，刘徽的割圆术可谓事半功倍。