巧解点连线画多边形题

　　巧解点连线画多边形题

　　湖北省麻城市实验教学研究中心 何应兆

　　目前各地各级数学竞赛中，经常出现“平面上有若干个点，用这些点为顶点，一共可画出多少个多边形”的题。因涉及的情况较复杂，许多同学用“分类计数”的办法来解答，但往往不是出现“一僧多粥”，就是“多僧无粥”的现象，很难得出正确答案。这样的题我们不妨从简单的情况入手，从中获得某些启示后，用递推归纳法导出其规律，用以解答出正确答案。下面略举几例加以说明。

　　例1 平面上有3或4或5个点，任意三点都不在同一直线上，以每3个点为顶点，分别可画出多少个不同的三角形？

　　分析与解 3个点显然只能画出一个三角形。4个点时，因为在其中选取3个点来画三角形，选第一点时，有4种选法；选第二点时，有3种选法；选第三点时，有2种选法。所以共有（4×3×2=）24（种）选法。但是，若以a、b、c三点为例，选a点后再选b点，与选b点后再选a点，所选出的是同样两个点。在这三点构成的三角形中，选第一条边时有3种选法，选第二条边时有2种选法，选第三条边时，有一种选法。所以同一三角形abc，重复算了6次，故（24÷6=）4（个）。可以画图论证解法正确。同理5个点时，共可画出（5×4×3÷6=）10（个）三角形。n个点时，共可画出〔n×（n-1）×（n-2）÷6〕个三角形。

　　例2 平面上有8个点，任意三点都不在同一直线上，以每4个点为顶点，共可画出多少个不同的四边形？n个点呢？

　　分析与解 有了以上分析的基础，可计算：

　　8个点时，可画出8×7×6×4÷（4×3×2×1）= 140（个）。

　　n个点时，可画出〔n×（n-1）×（n-2）×（n-3）÷（4×3×2×1）〕个。

　　例3 平面上有7个点，其中4个点在同一直线上，其它任意三点都不在同一直线上。以这7个点为顶点，共可画出多少个三角形？四边形呢？

　　分析与解 假设在同一直线上的四点分别为a、b、c、d，那么

　　1.画三角形时，点（a、b、c），（a、b、d），（a、c、d），（b、c、d），都不能画出三角形。所以共可画出7×6×5÷（3×2×1）-4=31（个）三角形。

　　2.画四边形时，用（a、b、c）时，它与其它4个点中任意一个，都不能画出四边形；用（a、b、d）时，…；…。所以共可画出

　　7×6×5×4÷（4×3×2×1）-4×4=19（个）四边形。

　　例4 如图，正方形aceg的边界上共有7个点a、b、c、d、e、f、g，其中b、d、f分别在边ac、ce、eg上。那么，以这7个点的4个点为顶点组成的不同的四边形的个数等于______。〔1998年小学数学奥林匹克（决赛a卷）—提高卷第6题。〕